Matemáticas. Series de tempo
Definicións e conceptos teóricos

Índice

Introdución ás series de tempo
Compoñentes dunha serie de tempo
Análise da tendencia

Método do axuste analítico
Método das medias móbiles

Análise da compoñente estacional

Método das relacións medias mensuais con respecto á tendencia
Método das medias móbiles

Introdución ás series de tempo

Unha serie de tempo é unha sucesión de observacións dun fenómeno ordenadas no tempo.

Exemplo: o número de inmigrantes que chegaron a Galicia procedentes do estranxeiro nos últimos quince anos.

En realidade, unha serie de tempo é un caso particular dunha variable bidimensional, na que a variable independente é o tempo (t) e a dependente a variable que estamos estudando (X). As observacións da serie temporal representarémolas por x₁, x₂, ..., x_n

A forma máis habitual de presentar unha serie de tempo é nunha táboa con dúas columnas. Na primeira columna ponse o tempo (t) e na segunda a observación da variable nese instante de tempo (x_t).

A repersentación gráfica das series temporais faise do mesmo xeito que na regresión, no eixe de abscisas representase o tempo (t) e no de ordenadas os valores da variable (x_t). Unindo os puntos resultantes obtemos unha visión de como evolucionou a variable que estamos estudando ao largo do tempo.

A análise de series temporais ten dous obxectivos fundamentais. Por unha banda, permítenos analizar a evolución dun fenómeno no tempo, e por outra, podemos facer prediccións dos valores futuros da variable. Así, por exemplo, se se pretende predicir o número de inmigrantes procedentes do estranxeiro que chegarán a Galicia nos próximos anos, unha posibilidade é recompilar o número de inmigrantes que chegaron nos últimos anos a Galicia e construír un modelo descritivo que permita extrapolar o comportamento pasado desta variable cara o futuro.

O estudo das series temporais pode abordarse desde dúas perspectivas distintas:

A determinística: supón que se poden analizar as series temporais sen ter en conta ningunha compoñente aleatoria. Como veremos a continuación, este análisis supón de os valores que toma a variable ob xecto de estudo ven dado pola combinación de catro compoñentes: tendencia, variacións cíclicas, variacións estacionais e variacións residuais.
A aleatoria: supón que a serie temporal é unha observación dun proceso estocástico. Un proceso estocástico é unha colección de variables aleatorias. Entón, a concepción aleatoria dunha serie temporal consiste en considerala como a observación dunha sucesión de variables aleatorias.

Nesta páxina introducirase únicamente o estudo determinístco das series temporais.

Compoñentes dunha serie de tempo

A teoría clásica das series de tempo basease en que toda serie x_t está formada polas seguintes compoñentes:

Tendencia (u_t): é o movemento da serie a longo prazo. Trata de describir o comportamento ou evolución xeral da serie en función do tempo.
Variacións cíclicas (c_t): son oscilacións que se producen con un período superior ao ano. Normalmente son debidas á alternancia de etapas de prosperidade e depresión económica. Na práctica esta compoñente é moi difícil de determinar xa que resulta moi difícil diferenciar entre a tendencia e o ciclo dunha serie. Por este motivo, en moitos casos estas dúas compoñentes trátanse de maneira conxunta e fálase de compoñente extraestacional.
Variacións estacionais (s_t): son oscilacións que se producen cun período de tempo igual ou inferior ao ano (estacionalidade anual, trimestral, mensual,...). Estas variacións teñen que ser recoñecibles ao longo dos anos. Un exemplo de variacións estacionais son as debidas a causas climatolóxicas.
Variacións residuais (r_t): tamén se coñecen por residuos, variacións irregulares ou erros. Son movementos que non mostran un carácter periódico recoñecible e que recollen unha morea de causas de variación de pouca importancia individual. Poden considerarse como variables independentes coa mesma distribución. Nunha serie de tempo esta compoñente é practicamente impredicible.

Maneiras de combinar as compoñentes dunha serie de tempo

Dentro dos modelos existentes á hora de combinar as catro compoñentes dunha serie temporal, os máis destacables son:

Modelo aditivo: x_t=u_t+c_t+s_t+r_t
Modelo multiplicativo: x_t=u_t·c_t·s_t·r_t
O modelo multiplicativo pódese transformar nun modelo adtitivo sen máis que tomar logaritmos log(x_t) = log(u_t·c_t·s_t·r_t) = log(u_t)+log(c_t)+log(s_t)+ log (r_t)
Modelo multiplicativo mixto: x_t=u_t·c_t·s_t+r_t

Exemplo : no seguinte gráfico móstrase o número de pasaxeiros que utilizaron os aeroportos galegos nos meses dos últimos vinte anos.

Esta serie presenta unha tendencia lixeiramente crecente en todo o período 1986-2005, cuns valores máis altos para os meses de xullo e agosto e uns mínimos para os meses de xaneiro e febreiro.

Análise da tendencia

O obxectivo da análise de series temporais é separar os seus movementos sistemáticos dos residuos. Neste apartado estudarase como illar a tendencia que, como xa se dixo, é a compoñente que marca as pautas evolutivas da variable. Hai que ter en conta que cando se describiron as compoñentes dunha serie definiuse a tendencia como o movemento da serie a longo prazo, pero o concepto de "longo prazo" depende da lonxitude da serie. De feito, pode ocorrer que as observacións das que se dispoña formen parte dun ciclo dunha serie máis longa.
Entre os métodos máis empregados para a determinación da tendencia atópanse: o método de axuste analítico e o método das medias móbiles.

Análise da tendencia. Método do axuste analítico

Este método trata de axustar unha función que relacione a variable estudada (neste caso a tendencia) en función do tempo (u_t=f(t)). Esta función debe recoller a evolución xeral da serie.

Entre os modelos máis utilizados atópanse o axuste linear (f(t)=a₀+b₀·t) e o axuste parabólico (f(t)=a₀+b₀·t+c₀·t²), onde os parámetros determinaranse polo método dos mínimos cadrados.

Determinación dos parámetros para o axuste linear da tendencia

Para axustar a tendencia (u_t) a unha recta (a+b·t) polo método dos mínimos cadrados, hai que calcular os parámetros a₀ e b₀ de tal xeito que a suma dos cadrados das diferenzas entre os valores observados (u_t) e os valores estimados (a₀+b₀·t) sexa mínima. É dicir, hai que atopar uns valores para a e b que minimicen f(a,b) = S_t (u_t - (a+b·t))². Para isto, calcúlanse as derivadas parciais de f(a,b) con respecto a a e a b e iguálanse a cero. Deste xeito obtéñense os seguintes coeficientes:

Se queres ver todos os pasos de como obter os coeficientes do axuste lineal podes pinchar na seguinte ligazón

Exemplo : neste exemplo calcularase o axuste lineal da tendencia da serie do número de inmigrantes que recibiu Galicia procedentes do estranxeiro no período 1992-2004.

	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Inmigrantes	6.308	5.155	4.286	4.354	3.204	5.908	6.850	8.506	12.547	11.395	18.186	17.053	19.366

Os cálculos para obter os coeficientes do axuste lineal veñen dados na seguinte táboa:

Ano	t	t²	Inmigrantes (u_t)	t*u_t
1992	1	1	6.308	6.308
1993	2	4	5.155	10.310
1994	3	9	4.286	12.858
1995	4	16	4.354	17.416
1996	5	25	3.204	16.020
1997	6	36	5.908	35.448
1998	7	49	6.850	47.950
1999	8	64	8.506	68.048
2000	9	81	12.547	112.923
2001	10	100	11.395	113.950
2002	11	121	18.186	200.046
2003	12	144	17.053	204.636
2004	13	169	19.366	251.758
n=13 (anos)	St=91	St²=819	Su_t=123.118	*Stu_t=1.097.671**

Polo tanto:

O axuste linear da tendencia ven dado por: f(t) = 400 + 1.296t

Determinación dos parámetros para o axuste parabólico da tendencia

A fórmula do axuste lineal da tendencia polo método dos mínimos cadrados pode xeneralizarse para os modelos polinómicos de calquera grado. En particular para os polinomios de segundo grado os coeficientes veñen dados por:

Se queres ver todos os pasos de como obter os coeficientes do axuste parabólico podes pinchar na seguinte ligazón

Exemplo : No exemplo do número de inmigrantes que chegaron a Galicia procedentes do estranxeiro o axuste parabólico da serie calcúlase do seguinte xeito:

Ano	t	t²	t³	t⁴	Inmigrantes (u_t)	t*u_t	t²*u_t
1992	1	1	1	1	6.308	6.308	6.308
1993	2	4	8	16	5.155	10.310	20.620
1994	3	9	27	81	4.286	12.858	38.574
1995	4	16	64	256	4.354	17.416	69.664
1996	5	25	125	625	3.204	16.020	80.100
1997	6	36	216	1.296	5.908	35.448	212.688
1998	7	49	343	2.401	6.850	47.950	335.650
1999	8	64	512	4.096	8.506	68.048	544.384
2000	9	81	729	6.561	12.547	112.923	1.016.307
2001	10	100	1.000	10.000	11.395	113.950	1.139.500
2002	11	121	1.331	14.641	18.186	200.046	2.200.506
2003	12	144	1.728	20.736	17.053	204.636	2.455.632
2004	13	169	2.197	28.561	19.366	251.758	3.272.854
n=13 (anos)	St=91	St²=819	St³=8.281	St⁴=89.271	Su_t=123.118	*Stu_t=1.097.671**	*St²u_t=11.392.787**

Entón o axuste parabólico da tendencia da serie é: f(t) = 6.248 - 1.043t + 167 t²

Nas seguintes gráficas pódese observar como ao aumentar o grado do polinomio o axuste parece aproximarse mellor aos datos da serie.

Análise da tendencia. Método das medias móbiles

O método das medias móbiles consiste en promediar cada valor da serie temporal cos valores contiguos mediante unha media aritmética. O número de datos a promediar determínase en función do período (p) de oscilacións máis importante que mostra a serie. A serie dos datos así obtida proporciona a tendencia da serie e ten unha distribución con menor dispersión ca serie orixinal.

¿Cómo se calculan as médias móbiles de orden p?

Se p é impar. Para cada instante temporal t promédianse os p valores que se sitúan o redor de u_t, é dicir, promédianse os datos:
Se p é par. Neste caso, o primeiro paso é calcular as medias móbiles de orden p-1 e p+1 e logo calcular a súa correspondente media aritmética.

Exemplo: cálculo das medias móbiles de orden 4 para a produción de vehículos automóbiles na comunidade galega.

	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
I Trimestre	72.128	72.292	84.504	91.699	115.216	123.388	130.017	128.863	127.193	113.926
II Trimestre	76.394	75.708	94.254	95.009	119.792	126.130	125.952	133.915	131.007	124.948
III Trimestre	57.041	52.737	69.364	52.820	91.602	105.004	96.853	101.353	93.184	85.596
IV Trimestre	71.078	69.218	90.635	92.989	110.739	115.265	122.851	108.614	107.455	98.476

Esta serie ten estacionalidade trimestral, polo que se considera p=4. Como p é par, primeiro calcúlanse as medias móbiles de orden p-1=3 e p+1=5.

Por exemplo, para o segundo trimestre de 1996 a media móbil de orden 3 calcúlase como a media aritmética do primeiro, segundo e terceiro trimestre de 1996, é dicir como (72.128 + 76.394 + 57.041)/3 = 68.521. Anslogamente para o terceiro trimestre de 1996 a media móbil de orden tres viría dada por (76.394 + 57.041 + 71.078)/3 = 68.171. Operando de maneira similar para todo o período considerado, obtéñense as seguintes medias móbiles de orden 3:

Medias móbiles de orden 3

	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
I Trimestre	-	73.026	82.659	92.448	109.332	120.086	123.745	128.543	122.271	115.443
II Trimestre	68.521	66.912	82.707	79.843	108.870	118.174	117.607	121.377	117.128	108.157
III Trimestre	68.171	65.888	84.751	80.273	107.378	115.466	115.219	114.627	110.549	103.007
IV Trimestre	66.804	68.820	83.899	87.008	108.576	116.762	116.189	112.387	104.855	-

De xeito análogo a como se calcularon as medias móbiles de orden 3 calcúlanse as de orden 5. Por exemplo, para o terceiro trimestre de 1996 esta calcularíase como: (72.128 + 76.394 + 57.041 + 71.078 + 72.292)/5 = 69.787

Medias móbiles de orden 5

	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
I Trimestre	-	65.771	74.015	79.905	94.484	111.373	114.618	116.767	112.270	105.022
II Trimestre	-	68.207	81.595	84.630	106.068	116.105	118.188	119.119	113.491	106.080
III Trimestre	69.787	70.892	86.091	89.547	112.147	119.961	120.907	119.988	114.553	-
IV Trimestre	70.503	75.284	88.192	95.165	114.330	120.474	121.687	120.416	114.104	-

Finalmente, para calcular as medias móbiles de orden 4 promédianse, para cada trimestre, as correspondentes medias móbiles de orden 3 e de orden 5. Por exemplo, para o terceiro trimestre de 1996 a media móbil de orden 4 é: (68.171 + 69.787)/2 = 68.979.

Medias móbiles de orden 4

	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
I Trimestre	-	69.399	78.337	86.177	101.908	115.729	119.181	122.655	117.271	110.232
II Trimestre	-	67.559	82.151	82.237	107.469	117.140	117.897	120.248	115.309	107.118
III Trimestre	68.979	68.390	85.421	84.910	109.763	117.714	118.063	117.307	112.551	-
IV Trimestre	68.653	72.052	86.046	91.087	111.453	118.618	118.938	116.402	109.480	-

Na representación gráfica da serie resultante pódese observar como a serie das medias móbiles é máis suave que a serie orixinal.

Análise da compoñente estacional

As variacións estacionais son oscilacións que normalmente se producen cun período igual ou inferior ao ano e que son recoñecibles nos diferentes anos. Para estudar o movemento real ou tendencia dunha serie, é necesario eliminar previamente as flutuacións, ou variacións estacionais, presentes na serie e que encobren a evolución real do fenómeno.

Por simplicidade suporemos que a serie de datos é mensual. Denotarase por x_ij o dato da serie correspondente ao mes j (j=1,2,..., 12) do ano i (i=1,2, ..., n)

Análise da compoñente estacional. Método das relacións de medias mensuais respecto á tendencia

Os pasos a seguir son os seguintes:

Calcular as medias anuais dos datos observados:
Axustar as medias anuais dos datos (x_i· ) a unha recta a+bi polo método dos mínimos cadrados. A pendente desta recta (b) representa o incremento dos valores medios anuais no transcurso dun ano. Polo tanto, supoñendo que o incremento anual se produce uniformemente ao longo de cada ano, b/12 é o incremento debido ao transcurso dun mes.
Calcular as medias mensuais dos datos:
Corrixir as medias mensuais restando a cada unha delas a proporción do incremento anual:

Como en xaneiro aínda non transcorreu ningún mes , a media mensual corrixida coincide coa media mensual. Porén, en Febreiro hai que descontarlle á media mensual a parte do efecto total do transcurso dun ano correspondente ao mes de xaneiro. É dicir, hai que restarlle á media orixinal a doceava parte do incremento anual (b/12). En marzo habería que restarlle dúas doceavas partes do incremento anual (2b/12) e así sucesivamente.
Calcular a media global corrixida (x'_·· ) como a media aritmética das medias mensuais corrixidas.
Obter a compoñente estacional. Neste caso hai que distinguir entre se o modelo aditivo ou multiplicativo
- Modelo aditivo: neste caso a compoñente estacional calcúlase como s_ij = x'_·j - x'_··
- Modelo multiplicativo: o índice de variación estacional obtense como o cociente entre a media mensual corrixida e a media global corrixida, é dicir:

Exemplo: na seguinte táboa móstranse os matrimonios que tiñan pensado fixar a súa residencia en Galicia nos últimos 8 anos.

	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Xaneiro	465	442	406	307	273	320	314	290
Febreiro	434	407	342	330	361	342	436	312
Marzo	621	647	566	640	618	610	576	614
Abril	646	636	869	615	674	614	671	782
Maio	1.131	1.137	974	973	1.069	1.203	1.260	1.025
Xuño	958	1.019	1.060	1.204	1.279	1.050	1.088	1.108
Xullo	1.499	1.776	1.848	1.470	1.413	1.412	1.748	1.612
Agosto	2.284	1.990	1.960	1.859	2.192	2.126	1.720	1.537
Setembro	1.511	1.617	1.843	1.794	1.597	1.491	1.545	1.486
Outubro	1.204	1.214	962	960	1.032	918	1.096	1.010
Novembro	470	457	504	472	519	452	434	452
Decembro	670	605	647	558	490	536	485	472
Medias anuais	991	996	998	932	960	923	948	892

A continuación obterase a compoñente estacional polo método das relacións medias mensuais con respecto á tendencia.

Unha vez calculadas as medias anuais dos datos, o seguinte paso é axustalas a unha recta polo método dos mínimos cadrados.

	i	i²	Medias anuais (x_i·)	i*x_i·
1998	1	1	991	991
1999	2	4	996	1.991
2000	3	9	998	2.995
2001	4	16	932	3.727
2002	5	25	960	4.799
2003	6	36	923	5.537
2004	7	49	948	6.634
2005	8	64	892	7.133
n=8 (anos)	Si=36	Si²=204	Sx_i·=7.639	Six_i·=33.808

Entón a recta de axuste é: 1.016 -13i

A continuación calcúlanse as medias mensuais dos datos e as correspondentes medias mensuais corrixidas:

Mes	j	media mensual (x_·j )	media mensual corrixida (x'_·j )	Compoñente estacional (nodelo aditivo)
Xaneiro	1	352	352	-609
Febreiro	2	371	372	-589
Marzo	3	612	614	-347
Abril	4	688	692	-269
Maio	5	1.097	1.101	140
Xuño	6	1.096	1.101	140
Xullo	7	1.597	1.604	643
Agosto	8	1.959	1.966	1.005
Setembro	9	1.611	1.619	658
Outubro	10	1.050	1.060	99
Novembro	11	470	481	-480
Decembro	12	558	570	-391
			x'_··= 961

Por exemplo, a media mensual para febreiro a media mensual calcúlase como: x_·2 = 1/8(434 + 407 + 342 + 330 + 361 + 342 + 436 +312) = 371 e a media mensual corrixida como x'_·2 = x_·2 - (1/12)*b = 371 - (1/12)*(-13) = 372

Unha vez calculadas as medias mensuais corrixidas, a media global corrixida obtense como promedio das anteriores, é dicir: x'_·· = 1/12 (352 + 372 + 614 + 692 + 1.101 + 1.101 + 1.604 + 1.966 + 1.619 + 1.060 + 481 + 570) = 961

Finalmente para cada mes, e supoñendo que o modelo é aditivo, calcúlase a compoñente estacional como a diferenza entre a correspondente media mensual corrixida e a media global corrixida. Por exemplo, para o mes de febreiro a compoñente estacional ven dada por: s_i2= x_·2 - x'_·· = 372 - 961 = -589

A compoñente estacional que se mostra na gráfica anterior ten un marcado balance positivo nos meses de verán, sobre todo en agosto. Porén, os meses de inverno presentan unha compoñente estacional negativa moi forte, é dicir, son os meses nos que se celebra un menor número de matrimonios.

Análise da compoñente estacional. Método das medias móbiles

O método das medias móbiles para a análise da compoñente estacional consiste en:

Obter a compoñente extraestacional da serie (E_ij) facendo un axuste da serie orixinal empregando medias móbiles con p=12, sempre e cando a serie dos datos sexa mensual. ¿Cómo calcular as medias móbiles de orden p?
Calcular a compoñente estacional estimada s_·j:

Se o modelo é aditivo: s_·j = x_·j - E_·j
Se o modelo é multiplicativo:

Exemplo: neste exemplo calcularase a compoñente estacional da serie de matrimonios mediante o método das medias móbiles.

Como p=12 é un número par, primeiro hai que calcular as medias móbiles de orden p-1=11 e p+1=13.

Medias móbiles de orden 11

	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Xaneiro	-	948	918	908	902	906	897	856
Febreiro	-	902	905	863	861	835	863	846
Marzo	-	945	936	865	897	883	884	845
Abril	-	983	994	940	955	925	941	880
Maio	-	1.050	1.040	982	1.006	961	999	933
Xuño	1.020	1.031	1.030	966	1.002	958	990	930
Xullo	1.039	1.046	1.052	989	1.022	978	1.005	946
Agosto	1.040	1.046	1.049	983	1.018	975	992	-
Setembro	1.020	1.018	1.028	958	993	959	968	-
Outubro	1.020	1.012	1.007	958	988	956	963	-
Novembro	975	987	974	931	946	907	919	-
Decembro	992	983	966	919	939	927	914	-

Medias móbiles de orden 13

	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Xaneiro	-	1.054	1.056	1.023	985	984	1.002	982
Febreiro	-	1.092	1.070	1.024	1.040	1.039	1.026	966
Marzo	-	1.040	1.059	1.011	1.020	985	981	948
Abril	-	1.018	1.008	943	961	933	951	907
Maio	-	960	954	906	927	888	914	857
Xuño	-	971	968	910	929	890	916	860
Xullo	949	950	945	881	911	876	897	-
Agosto	944	943	939	885	916	885	897	-
Setembro	961	955	962	907	935	903	911	-
Outubro	962	972	966	910	935	908	927	-
Novembro	1.000	998	974	945	975	957	954	-
Decembro	991	992	992	969	974	948	942	-

Medias móbiles de orden 12

	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
Xaneiro	-	1.001	987	966	943	945	950	919
Febreiro	-	997	988	944	951	937	944	906
Marzo	-	993	997	938	959	934	932	897
Abril	-	1.000	1.001	942	958	929	946	894
Maio	-	1.005	997	944	967	925	956	895
Xuño	-	1.001	999	938	966	924	953	895
Xullo	994	998	999	935	966	927	951	-
Agosto	992	994	994	934	967	930	945	-
Setembro	990	986	995	933	964	931	939	-
Outubro	991	992	986	934	961	932	945	-
Novembro	987	993	974	938	961	932	937	-
Decembro	991	988	979	944	957	938	928	-

Unha vez calculadas as medias móbiles de orden p=12 e supoñendo que o modelo é aditivo, calcúlanse a estimación da compoñente estacional como: s_·j = x_·j - E_·j

Por exemplo, para o mes de xaneiro x_·1 = 1/8(465 + 442 + 406 + 307 + 273 + 320 + 314 + 290) = 352 e E_·1 = 1/7(1.001 + 978 + 966 + 943 + 945 + 950 + 919) = 959, polo que s_·1 = 352 - 959 = -606

	Media mensual x_·j	E_·j	s_·j
Xaneiro	352	959	-606
Febreiro	371	952	-582
Marzo	612	950	-339
Abril	688	953	-264
Maio	1.097	956	141
Xuño	1.096	954	142
Xullo	1.597	967	630
Agosto	1.959	965	993
Setembro	1.611	963	648
Outubro	1.050	963	86
Novembro	470	960	-490
Decembro	558	961	-403

Matemáticas. Series de tempo Definicións e conceptos teóricos